Формулы для дифференцирования неявно заданных функций. Дифференцирование сложных и неявных функции нескольких переменных. Производная функции, заданной неявно. Производная параметрически заданной функции

Функция Z= f(х; у) называется неявной, если она задается уравнением F(x,y,z)=0 неразрешенным относительноZ. Найдем частные производныефункцииZзаданной неявно. Для этого подставив в уравнение вместоZфункцию f(х;у) получим тождествоF(x,y, f(х,у))=0. Частные производные поxи yфункции, тождественно равной нулю, также равны нулю.

F(x,y, f (х, у)) =
=0 (yсчитаем постоянным)

F(x,y, f (х, у)) =
=0 (xсчитаем постоянным)

Откуда
и

Пример : Найти частные производные функцииZзаданной уравнением
.

Здесь F(x,y,z)=
;
;
;
. По формулам приведенным выше имеем:

и

1. Производная по направлению

Пусть функция двух переменных Z= f(x; у) задана в некоторой окрестности т. М (x,y). Рассмотрим некоторое направление, определяемое единичным вектором
, где
(см. рис.).

На прямой, проходящей по этому направлению через т. М возьмем т. М 1 (
) так, что длина
отрезкаMM 1 равна
. Приращение функцииf(M) определяется соотношением, где
связаны соотношениями. Предел отношенияпри
будет называться производной функции
в точке
по направлениюи обозначаться.

=

Если функция Zдифференцируема в точке
, то ее приращение в этой точке с учетом соотношений для
может быть записано в следующей форме.

поделив обе части на

и переходя к пределу при
получим формулу для производной функции Z= f(х; у) по направлению:

1. Градиент

Рассмотрим функцию трех переменных
дифференцируемой в некоторой точке
.

Градиентом этой функции
в точке М называется вектор, координаты которого равны соответственно частным производным
в этой точке. Для обозначения градиента используют символ
.
=
.

.Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.

Поскольку единичный вектор имеет координаты (
), то производная по направлению для случая функции трех переменных записывается в виде, т.е.имеет формулу скалярного произведения векторови
. Перепишем последнюю формулу в следующем виде:

, где- угол между вектороми
. Поскольку
, то отсюда следует, что производная функции по направлению принимаетmaxзначение при=0, т.е. когда направление векторови
совпадают. При этом
.Т.е., на самом деле градиент функции характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в точке.

1. Экстремум функции двух переменных

Понятия max,min, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной переменной. Пусть функция Z= f(x; у) определена в некоторой областиDи т. М
принадлежит к этой области. Точка М
называется точкойmaxфункции Z= f(x; у), если существует такая δ-окрестность точки
, что для каждой точки из этой окрестности выполняется неравенство
. Аналогичным образом определяется и точкаmin, только знак неравенства при этом изменится
. Значение функции в точкеmax(min) называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции называются экстремумами.

1. Необходимые и достаточные условия экстремума

Теорема: (Необходимые условия экстремума). Если в точке М
дифференцируемая функция Z= f(x; у) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:
,
.

Доказательство: зафиксировав одну из переменныхxилиy, ревратим Z= f(x; у) в функцию одной переменной, для экстремума которой вышеописанные условия должны выполняться. Геометрически равенства
и
означают, что в точке экстремума функции Z= f(x; у), касательная плоскость к поверхности, изображающую функциюf(x,y)=Zпараллельна плоскостиOXY, т.к. уравнение касательной плоскости естьZ=Z 0. Точка, в которой частные производные первого порядка функции Z= f(x; у) равны нулю, т.е.
,
, называются стационарной точкой функции. Функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. НапримерZ=|-
| имеетmaxв точкеO(0,0), но не имеет в этой точке производных.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками. В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Например, приZ=xyточкаO(0,0) является критической. Однако экстремума в ней функцияZ=xyне имеет. (Т.к. вIиIIIчетвертяхZ>0, а вIIиIV–Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Теорема : (Достаточное условие экстремумов). Пусть в стационарной точке
и некоторой окрестности функция f(x; у) имеет непрерывные частные производные до 2 ого порядка включительно. Вычислим в точке
значения
,
и
. Обозначим

В случае если
, экстремум в точке
может быть, а может и не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Производная сложной функции. Полная производная

Пусть z=ƒ(х;у) - функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t: х = x(t), у = y(t). В этом случае функция z = f(x(t);y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные х и у - промежуточные переменные.

Если z = ƒ(х;у) - дифференцируемая в точке М(х;у) є D функция и х = x(t) и у = y(t) - дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z(t) = f(x(t);y(t)) вычисляется по формуле

Дадим независимой переменной t приращение Δt. Тогда функции х = = x(t) и у = y{t) получат приращения Δх и Δу соответственно. Они, в свою очередь, вызовут приращение Az функции z.

Так как по условию функция z - ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х; у), то ее полное приращение можно представить в виде

где а→0, β→0 при Δх→0, Δу→0 (см. п. 44.3). Разделим выражение Δz на Δt и перейдем к пределу при Δt→0. Тогда Δх→0 и Δу→0 в силу непрерывности функций х = x(t) и у = y(t) (по условию теоремы - они дифференцируемые). Получаем:

Частный случай: z=ƒ(х;у), где у=у(х), т. е. z=ƒ(х;у(х)) - сложная функция одной независимой переменной х. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль переменной t играет х. Согласно формуле (44.8) имеем:

Формула (44.9) носит название формулы полной производной.

Общий случай: z=ƒ(х;у), где x=x(u;v), у=у(u;v). Тогда z= f(x(u;v);y(u;v)) - сложная функция независимых переменных u и v. Ее частные производные можно найти, используя формулу (44.8) следующим образом. Зафиксировав v, заменяем в ней соответствующими частными производными

Производные высших порядков находятся последовательным дифференцированием формулы (1).

Пример. Найти и , если (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

Решение. Обозначая левую часть данного уравнения через f (х,y) найдем частные производные

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Отсюда, применяя формулу (1), получим:

.

Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную первую производную, учитывай при этом, что у есть функция х:

.

2°. Случай нескольких независимых переменных . Аналогично, если уравнение F(х, у, z)=0 , где F(х, у, z ) - дифференцируемая функция переменных х, у и z , определяет z как функцию независимых переменных х и у и Fz(x, у, z)≠ 0, то частные производные этой неявно заданной функции, вообще говоря, могут быть найдены по формулам

Другой способ нахождения производных функции z следующий: дифференцируя уравнение F(х, у, z) = 0 , получим:

.

Отсюда можно определить dz, а следовательно, и .

Пример. Найти и , если x ² - 2 y ²+3 z ² - yz + y =0.

1-й способ. Обозначая левую часть данного уравнения через F(х, у, z) , найдем частные производные F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y .

Применив формулы (2), получим:

2-й способ. Дифференцируя данное уравнение, получим:

2х dx -4 y dy +6 z dz - y dz - z dy + dy =0

Отсюда определяем dz , т. е. полный дифференциал неявной функции:

.

Сравнивая с формулой , видим, что

.

3°. Система неявных функций . Если система двух уравнений

определяет u и v как функции переменных х и у и якобиан

,

то дифференциалы этих функций (а следовательно, и их частные производные) могут быть найдены из системы уравнений

Пример: Уравнения u+v=x+y, xu+yv=1 определяют u и v как функции х и у ; найти .

Решение. 1-й способ. Дифференцируя оба уравнения по х, получим:

.

Аналогичным образом найдем:

.

2-й способ. Дифференцированием находим два уравнения, связывающие дифференциалы всех четырех переменных: du + dv = dx + dy , x du + u dx + y dv + v dy =0.

Решив эту систему относительно дифференциалов du и dv , получим:

4°. Параметрическое задание функции . Если функция г переменных х и у задана параметрически уравнениями x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v) и

,

то дифференциал этой функции может быть найден из системы уравнений

Зная дифференциал dz=p dx+q dy , находим частные производные и .

Пример. Функция z аргументов х и у задана уравнениями x=u+v, y=u²+v², z=u²+v² (u≠v ).

Найти и .

Решение. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравнения, связывающие дифференциалы всех пяти переменных:

Из первых двух уравнений определим du и dv :

.

Подставим в третье уравнение найденные значения du и dv :

.

2-й способ. Из третьего данного уравнения можно найти:

Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по у :

Из первой системы найдем: .

Из второй системы найдем: .

Подставляя выражения и в формулу (5), получим:

Замена переменных

При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие в них производные следует выразить через другие производные по правилам дифференцирования сложной функции.

1°. Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производные.

,

полагая .

у по х через производные от у по t . Имеем:

,

.

Подставляя найденные выражения производных в данное уравнение и заменяя х через , получим:

Пример. Преобразовать уравнение

,

приняв за аргумент у , а за функцию х.

Решение. Выразим производные от у по х через производные от х по у.

.

Подставив эти выражения производных в данное уравнение, будем иметь:

,

или, окончательно,

.

Пример . Преобразовать уравнение

перейдя к полярным координатам

Решение. Рассматривая r как функцию φ , из формул (1) получим:

dх = соsφ dr – r sinφ d φ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Пусть непрерывная функция у от х задаётся неявно F (x , y ) = 0, где F (x , y ), F " x (x , y ), F " y (x , y ) есть непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х , у ), координаты которой удовлетворяют соотношениям F (x , y ) = 0, F " y (x , y ) ≠ 0. Тогда функция у от х имеет производную

Доказательство (смотри рисунок.). Пусть F " y (x , y ) > 0. Так как производная F " y (x , y ) непрерывна, то можно построить квадрат [х 0 - δ" , х 0 + δ" , у 0 - δ" , у 0 + δ" ], чтобы для всех его точек было F " y (x , y ) > 0, то есть F (x , y ) является монотонной по у при фиксированном х . Таким образом, выполнены все условия теоремы существования неявной функции у = f (x ), такой, что F (x , f (x )) º 0.
Зададим приращение Δ х . Новому значению х + Δ х будет соответствовать у + Δ у = f (x + Δ x ), такое, что эти значения удовлетворяют уравнению F (x + Δ x , y + Δ y ) = 0. Очевидно, что

Δ F = F (x + Δ x , y + Δ y ) − F (x , y ) = 0

и в этом случае

.

Из (7) имеем

.

Так как неявная функция у = f (x ) будет непрерывна, то Δ у → 0 при Δ х → 0, значит α → 0 и β → 0. Откуда окончательно имеем

.

Что и требовалось доказать.

Частные производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть частные производные функции z = f (x , y ), определенной в окрестности точки М, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных х и у , определенные в указанной окрестности точки М. Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь, частные производные по переменным х и у от функций в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции f (М ) в этой точке и обозначаются следующими символами

Частные производные второго порядка вида , , называются смешенными частными производными.

Дифференциалы высших порядков

Будем рассматривать dx в выражении для dy как постоянный множитель.Тогда функция dy представляет собой функцию только аргумента x и ее дифференциал в точке x имеет вид (при рассмотрении дифференциала от dy будем использовать новые обозначения для дифференциалов):

δ (d y ) = δ [f " (x ) d x ] = [f " (x ) d x ] " δ x = f "" (x ) d (x ) δx .

Дифференциал δ (d y ) от дифференциала dy в точке x , взятый при δx = dx , называется дифференциалом второго порядка функции f (x ) в точке x и обозначается d 2 y , т.е.

d 2 y = f ""(x )·(dx ) 2 .

В свою очередь, дифференциал δ(d 2 y ) от дифференциала d 2 y , взятый при δx = dx , называется дифференциалом третьего порядка функции f (x ) и обозначается d 3 y и т.д. Дифференциал δ(d n-1 y) от дифференциала d n -1 f , взятый при δx = dx , называется дифференциалом n - го порядка (или n - м дифференциалом) функции f (x ) и обозначается d n y .
Докажем, что для n - го дифференциала функции справедлива формула

d n y = y (n ) ·(dx ) n , n = 1, 2, … (3.1)

При доказательстве воспользуемся методом математической индукции. Для n = 1 и n = 2 формула (3.1) доказана. Пусть она верна для дифференциалов порядка n - 1

d n −1 y = y (n −1) ·(dx ) n −1 ,

и функция y (n -1) (x ) дифференцируема в некоторой точке x . Тогда

Полагая δx = dx , получаем

что и требовалось доказать.
Для любого n справедливо равенство

или

т.е. n - я производная функции y = f (x ) в точке x равна отношению n - го дифференциала этой функции в точке x к n - й степени дифференциала аргумента.

Производная по направлению функций нескольких переменных.

Рассматривается функция и единичный вектор . Проводится прямая l через т.М 0 с направляющим вектором

Определение 1. Производная функции u = u (x , y , z ) по переменной t называется производной по направлению l

Так как на этой прямой u – сложная функция одной переменной, то производная по t равна полной производной по t (§ 12).

Она обозначается и равна

Известно, что функция y= f(x)может быть задана неявно с помощью уравнения, связывающем переменные х и у:

F(x,y) =0.

Сформулируем условия, при которых уравнение F(x,y )=0 определяет одну из переменных как функция другой. Справедлива следующая

Теорема (существования неявной функции) Пусть функция F(x,y )=0 удовлетворяет следующим условиям:

1) существует точка P˳(х˳,у˳), в которой F(x˳,y˳)=0

2) F’y(x˳,y˳)≠ 0

3) функции F’x (x ,y )и F’y (x ,y ) непрерывны в некоторой окрестности точки

P 0 (x 0 ,y 0).

Тогда существует единственная функция y =f (x), определенная на некотором интервале, содержащем точку, и удовлетворяющая при любом х из этого интервала уравнениюF(x,y)=0 , такая что f(x 0)= y0

Если у есть неявная функция от х , то есть она определяется из уравнения F (х , у ) = 0, то, предполагая, что у есть функция от х , мы получаем тождество F (х , у (х )) = 0, которое можно рассматривать как константу-функцию. Дифференцируя эту константу-функцию, получим:

Если в этом соотношении , то можно найти .

Дифференцируя соотношение (1) ещё раз, получим:

Соотношение (2) можно рассматривать как уравнение для определения второй производной. Дифференцируя соотношение (2) ещё раз, получим уравнение для определения третьей производной и т. д.

Производная по направлению. Вектор направления для случая двух и трех переменных (направляющие косинусы). Приращение функции по заданному направлению. Определение производной по направлению, ее выражение через частные производные. Градиент функции. Взаимное положение градиента и линии уровня в данной точке для функции двух переменных.

Производной z’I по направлению I функции двух переменных z=f(x;y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения ∆I при стремлении последней к 0: z’i=lim∆iz /∆I

Производная z’ I характеризует скорость изменения функции в направлении i.

Если функция z=f(x;y) имеет в точке М(x;y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует производная по любому направлению, исходящему из точки М(x;y), которая вычисляется по формуле z’i=z’xˑcosα+z"yˑcosβ,где cosα, cosβ- направляющие к4осинусы вектора .

Градиентом функции z=f(x,y) называется вектор с координатами f’x, f’y. Обозначается z=(f’x,f’y) или .

Производная по направлению равна скалярному произведению градиента и единичного вектора, задающего направление I.

Вектор z в каждой точке направлен по нормали к линии уровня, проходящей через данную точку в сторону возрастания функции.

Частные производные f’x и f’y представляют собой производные функции z=f(x,y) по двум частным направлениям осей Ox и Oу.

Пусть z=f(x,y)- дифференцируемая функция в некоторой области D, M(x,y) . Пусть I – некоторое направление (вектор с началом в точке М),а =(cosα;cosβ).

При перемещении в данном направлении I точки М(х,у) в точку М1(х+∆х;y+∆y) функция z получит приращение ∆iz=f(x+∆х;y+∆y)-f(x;y) называемое приращением функции z в данном направлении I.

Если MM1=∆I то ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, следовательно, ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).