Прибавить числа с разными знаками. Сложение рациональных чисел. Сложение и вычитание отрицательных чисел

Данная статья посвящена числам с разными знаками. Мы будем разбирать материал и пытаться выполнять вычитание между этими числами. В параграфе мы познакомимся с основными понятиями и правилами, которые пригодятся во время решения упражнений и задач. Также в статье представлены подробно разобранные примеры, которые помогут лучше понять материал.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Как правильно выполнять вычитание

Для того, чтобы лучше понять процесс вычитания, следует начать с основных определений.

Определение 1

Если вычесть из числа a число b , то это можно преобразовать как сложение числа a и - b , где b и − b – числа с противоположными знаками.

Если выразить данное правило буквами, то оно выглядит так a − b = a + (− b) , где a и b – любые действительные числа.

Данное правило вычитания чисел с разными знаками работает для действительных, рациональных и целых чисел. Его можно доказать на основании свойств действий с действительными числами. Благодаря им мы может представить числа как несколько равенства (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a . Так как сложение и вычитание тесно связаны, то равным также будет выражение a − b = a + (− b) . Это значит, что рассматриваемое правило вычитания также верно.

Данное правило, которое применяется для вычитания чисел с разными знаками, позволяет работать как с положительными, так и с отрицательными числами. Также можно производить процесс вычитания из отрицательного числа из положительного, которое переходит в сложение.

Для того, чтобы закрепить полученную информацию, мы рассмотрим типичные примеры и на практике рассмотрим правило вычитания для чисел с разными знаками.

Примеры упражнений на вычитание

Закрепим материал, рассмотрев типичные примеры.

Пример 1

Необходимо выполнить вычитание 4 из − 16 .

Для того, чтобы выполнить вычитание, следует взять число, противоположное вычитаемому 4 , есть − 4 . Согласно рассмотренному выше правилу вычитания (− 16) − 4 = (− 16) + (− 4) . Далее мы должны сложить получившиеся отрицательные числа. Получаем: (− 16) + (− 4) = − (16 + 4) = − 20 . (− 16) − 4 = − 20 .

Для того, чтобы выполнять вычитание дробей, необходимо представлять числа в виде обыкновенных или десятичных дробей. Это зависит от того, с числами какого вида будет удобнее проводить вычисления.

Пример 2

Необходимо выполнить вычитание − 0 , 7 от 3 7 .

Прибегаем к правилу вычитания чисел. Заменяем вычитание на сложение: 3 7 - (- 0 , 7) = 3 7 + 0 , 7 .

Мы складываем дроби и получаем ответ в виде дробного числа. 3 7 - (- 0 , 7) = 1 9 70 .

Когда какое-либо число представлено в виде квадратного корня, логарифма, основной и тригонометрических функций, то зачастую результат вычитания может быть записан в виде числового выражения. Чтобы пояснить данное правило, рассмотрим следующий пример.

Пример 3

Необходимо выполнить вычитание числа 5 из числа - 2 .

Воспользуемся описанным выше правилом вычитания. Возьмем противоположное число вычитаемому 5 – это − 5 . Согласно работы с числами с разными знаками - 2 - 5 = - 2 + (- 5) .

Теперь выполним сложение: получаем - 2 + (- 5) = 2 + 5 .

Полученное выражение и является результатом вычитания исходных чисел с разными знаками: - 2 + 5 .

Значение полученного выражения может быть вычислено максимально точно только в том случае, если это необходимо. Для подробной информации можно изучить другие разделы, связанные с данной темой.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

На этом уроке мы узнаем, что такое отрицательное число и какие числа называются противоположными. Также научимся складывать отрицательные и положительные числа (числа с разными знаками) и разберём несколько примеров сложения чисел с разными знаками.

Посмотрите на эту шестеренку (см. рис. 1).

Рис. 1. Шестеренка часов

Это не стрелка, которая непосредственно показывает время и не циферблат (см. рис. 2). Но без этой детали часы не работают.

Рис. 2. Шестеренка внутри часов

А что обозначает буква Ы? Ничего, кроме звука Ы. Но без нее не будут «работать» многие слова. Например, слово «мЫшь». Так и отрицательные числа: они не показывают никакого количества, но без них механизм вычислений был бы существенно труднее.

Мы знаем, что сложение и вычитание равноправные операции, и их можно выполнять в любом порядке. В записи в прямом порядке мы можем посчитать: , а начать с вычитания нет, так как мы не договорились еще, а что же такое .

Понятно, что увеличить число на , а потом уменьшить на означает в итоге уменьшение на три. Почему бы так и не обозначить этот объект и так и считать: прибавить - значит вычесть . Тогда .

Число может означать, например, яблока. Новое число не обозначает никакого реального количества. Само по себе оно ничего не означает, как буква Ы. Это просто новый инструмент для упрощения вычислений.

Назовем новые числа отрицательными . Теперь мы можем вычитать из меньшего числа большее. Технически всё равно нужно вычесть из большего числа меньшего, но в ответе поставить знак минус: .

Рассмотрим ещё один пример: . Можно сделать все действия подряд: .

Однако из первого числа легче вычесть третье, а потом прибавить второе число:

Отрицательные числа можно определить и по-другому.

Для каждого натурального числа, например , введем новое число, которое обозначим , и определим, что оно обладает следующим свойством: сумма числа и равна : .

Число будем называть отрицательным, а числа и - противоположными. Таким образом, мы получили бесконечное количество новых чисел, например:

Противоположное для числа ;

Противоположное числу ;

Противоположное числу ;

Противоположное числу ;

Вычтем из меньшего числа большее: . Прибавим к данному выражению : . Получили ноль. Однако согласно свойству: число, которое в сумме с пятью дает ноль, обозначается минус пять : . Следовательно, выражение можно обозначить как .

У каждого положительного числа существует число-близнец, которое отличается только тем, что перед ним стоит знак минус Такие числа называются противоположными (см. рис. 3).

Рис. 3. Примеры противоположных чисел

Свойства противоположных чисел

1. Сумма противоположных чисел равна нулю: .

2. Если из нуля вычесть положительное число, то результатом будет противоположное отрицательное число: .

1. Оба числа могут быть положительными, и складывать их мы уже умеем: .

2. Оба числа могут быть отрицательными.

Мы уже прошли сложение таких чисел на предыдущем уроке, но убедимся, что понимаем, что с ними делать. Например: .

Чтобы эту сумму найти, складываем противоположные положительные числа и и ставим знак минус.

3. Одно число может быть положительным, а другое - отрицательным.

Прибавление отрицательного числа мы, если это нам удобно, можем заменять на вычитание положительного: .

Ещё один пример: . Опять сумму записываем как разность. Вычесть из меньшего большее число можно, вычитая из большего меньшее, но поставив знак минус.

Слагаемые можем менять местами: .

Ещё один аналогичный пример: .

Во всех случаях в итоге получается вычитание.

Чтобы коротко сформулировать эти правила, давайте вспомним еще один термин. Противоположные числа, конечно, не равны друг другу. Но было бы странно не заметить у них общего. Это общее мы назвали модулем числа . Модуль у противоположных чисел одинаковый: у положительного числа он равен самому числу, а у отрицательного - противоположному, положительному. Например: , .

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить знак минус:

Чтобы сложить отрицательное и положительное число, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль и поставить знак числа с большим модулем:

Оба числа отрицательные, следовательно, складываем их модули и ставим знак минус:

Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак минус (знак числа с большим модулем):

Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак минус (знак числа с большим модулем): .

Два числа с разными знаками, следовательно, из модуля числа (больший модуль) вычитаем модуль числа и ставим знак плюс (знак числа с большим модулем): .

У положительных и отрицательных чисел исторически разная роль.

Сначала мы ввели натуральные числа для счета предметов:

Потом мы ввели другие положительные числа - дроби, для счета нецелых количеств, частей: .

Отрицательные же числа появились как инструмент для упрощения расчетов. Не было такого, чтобы в жизни были какие-то количества, которые нам было не посчитать, и мы изобрели отрицательные числа.

То есть отрицательные числа не возникли из реального мира. Просто они оказались настолько удобными, что кое-где им нашлось применение и в жизни. Например, мы часто слышим про отрицательную температуру. При этом мы никогда не сталкиваемся с отрицательным количеством яблок. В чем же разница?

Разница в том, что в жизни отрицательные величины используют только для сравнения, но не для количеств. Если в гостинице оборудовали подвал и туда пустили лифт, то, чтобы оставить привычную нумерацию обычных этажей, может появиться минус первый этаж. Этот минус первый означает всего лишь на этаж ниже уровня земли (см. рис. 1).

Рис. 4. Минус первый и минус второй этажи

Отрицательная температура отрицательна только по сравнению с нулем, который выбрал автор шкалы Андерс Цельсий. Есть другие шкалы, и та же самая температура уже может не быть там отрицательной.

При этом мы понимаем, что невозможно поменять точку отсчета так, чтобы яблок стало не пять, а шесть. Таким образом, в жизни положительные числа используются для определения количеств ( яблок, торта).

Еще мы их используем вместо имен. Каждому телефону можно было бы дать свое имя, но количество имен ограничено, а чисел нет. Поэтому мы используем номера для телефонов. Также для упорядочивания ( век идет за веком).

Отрицательные числа в жизни используются в последнем смысле (минус первый этаж ниже нулевого и первого этажей)

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. «Гимназия», 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6 классов заочной школы МИФИ. М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

1. Math-prosto.ru ().
2. Youtube ().
3. School-assistant.ru ().
4. Allforchildren.ru ().

Домашнее задание

План урока:

I. Организационный момент

Проверка индивидуального домашнего задания.

II. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Взаимотренаж. Контрольные вопросы (парная организационная форма работы – взаимопроверка).
2. Устная работа с комментированием (групповая организационная форма работы).
3. Самостоятельная работа (индивидуальная организационная форма работы, самопроверка).

III. Сообщение темы урока

Групповая организационная форма работы, выдвижение гипотезы, формулирование правила.

1. Выполнение тренировочных заданий по учебнику (групповая организационная форма работы).
2. Работа сильных обучающихся по карточкам (индивидуальная организационная форма работы).

VI. Физпауза

IX. Домашнее задание.

Цель: формирование навыка сложения чисел с разными знаками.

Задачи:

• Сформулировать правило сложения чисел с разными знаками.
• Отрабатывать умение складывать числа с разными знаками.
• Развивать логическое мышление.
• Воспитывать умение работать в паре, взаимоуважение.

Материал к уроку: карточки для взаимотренажа, таблицы результатов работы, индивидуальные карточки на повторение и закрепление материала, девиз для индивидуальной работы, карточки с правилом.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

– Начнём урок с проверки индивидуального домашнего задания. Девизом нашего урока будут слова Яна Амоса Каменского. Дома вам нужно было подумать над его словами. Как вы его понимаете? («Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»)
– Как вы понимаете слова автора? (Если мы не узнаём ничего нового, не получаем новые знания, то этот день можно считать пропавшим или несчастным. Надо стремиться к получению новых знаний).
– И сегодняшний день не будет несчастным потому, что мы опять будем узнавать что-то новое.

II. Актуализация опорных знаний учащихся

– Для того чтобы изучать новый материал, надо повторить пройденный.
Дома было задание – повторить правила и сейчас вы покажете свои знания, поработав с контрольными вопросами.

(Контрольные вопросы по теме «Положительные и отрицательные числа»)

Работа в паре. Взаимопроверка. Результаты работы отмечают в таблице)

Ответы на вопросы «+» правильно, «–» неправильно Критерии оценки: 5 – «5»; 4 – «4»;3 – «3»

– Какие вопросы были наиболее трудными?
– Что нужно для успешной сдачи контрольных вопросов? (Знать правила)

2. Устная работа с комментированием

– 45 + (– 45) = (– 90)
– 100 + (– 38) = (– 138)
– 3, 5 + (–2, 4) = (– 5,9)
– 17/70 + (– 26/70) = (– 43/70)
– 20 + (– 15) = (– 35)

– Какие знания вам были нужны для решения 1-5 примеров?

3. Самостоятельная работа

(Самопроверка. Открыть во время проверки ответы)

– Почему последний пример вызвал у вас затруднение?
– Сумму каких чисел нужно найти, а сумму каких чисел мы знаем, как находить?

III. Сообщение темы урока

– Сегодня на уроке мы узнаем правило сложения чисел с разными знаками. Будем учиться складывать числа с разными знаками. Самостоятельная работа в конце урока покажет ваши успехи.

IV. Изучение нового материала

– Откроем тетради, запишем дату, классная работа, тему урока «Сложение чисел с разными знаками».
– Что изображено на доске? (Координатная прямая)

– Докажите, что это координатная прямая? (Есть начало отсчёта, направление отсчёта, единичный отрезок)
– Сейчас мы с вами вместе будем учиться складывать числа с разными знаками с помощью координатной прямой.

(Объяснение обучающихся под руководством учителя.)

– Найдём на координатной прямой число 0. К 0 надо прибавить число 6. Делаем 6 шагов в правую сторону от начала координат, т.к. число 6 – положительное (ставим цветной магнитик на получившееся число 6). К 6 прибавим число (– 10), делаем 10 шагов в левую сторону от начала координат, т. к. (– 10) число отрицательное (ставим цветной магнитик на получившееся число (– 4).)
– Какой получили ответ? (– 4)
– Как получили число 4? (10 – 6)
Сделайте вывод: Из числа с большим модулем вычли число с меньшим модулем.
– Как в ответе получили знак минус?
Сделайте вывод: Взяли знак у числа с большим модулем.
– Запишем пример в тетрадь:

6 + (–10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (–3) = + (10 – 3) = 7 (Аналогично решаем)

Принята запись:

6 + (– 10) = – (10 – 6) = – 4
10 + (– 3) = + (10 – 3) = 7

– Ребята, вы сейчас сами сформулировали правило сложения чисел с разными знаками. Ваши предположения мы назовём гипотезой . Вы выполнили очень важную интеллектуальную работу. Подобно учёным выдвинули гипотезу и открыли новое правило. Сверим вашу гипотезу с правилом (листок с отпечатанным правилом лежит на парте). Прочитаем хором правило сложения чисел с разными знаками

– Правило очень важное! Оно позволяет сложить числа разных знаков без помощи координатной прямой.
– Что не понятно?
– Где можно сделать ошибку?
– Для того чтобы правильно и без ошибок вычислять задания с положительными и отрицательными числами, надо знать правила.

V. Закрепление изученного материала

– Сможете ли вы найти сумму этих чисел на координатной прямой?
– С помощью координатной прямой такой пример решить трудно, поэтому будем использовать при решении открытое вами правило.
Задание написано на доске:
Учебник – с. 45; № 179 (в, г); № 180 (а, б); № 181 (б, в)
(Сильный ученик работает на закрепление данной темы с дополнительной карточкой.)

VI. Физпауза (Выполняют стоя)

– Человек обладает положительными и отрицательными качествами. Распределите эти качества на координатной прямой.
(Положительные качества – справа от начала отсчёта, отрицательные – слева от начала отсчёта.)
– Если качество отрицательное – хлопаем один раз, положительное – два раза. Будьте внимательны!
– Доброта , злость, жадность, взаимовыручка , взаимопонимание , грубость, и, конечно же, сила воли и стремление к победе , которые вам сейчас потребуются, так как впереди у вас самостоятельная работа)
VII. Индивидуальная работа с последующей взаимопроверкой

Индивидуальная работа (для сильных обучающихся) с последующей взаимопроверкой

VIII. Подведение итогов урока. Рефлексия

– Я считаю, что вы поработали активно, старательно, участвовали в открытии новых знаний, высказывали свое мнение, сейчас я могу оценить вашу работу.
– Скажите, ребята, что эффективнее: получать готовую информацию или размышлять самим?
– Что нового мы узнали на уроке? (Научились складывать числа с разными знаками.)
– Назовите правило сложения чисел с разными знаками.
– Скажите, наш урок сегодня не зря прошёл?
– Почему? (Получили новые знания.)
– Вернемся к девизу. Значит, Ян Амос Каменский был прав, когда сказал: «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию».

IX. Домашнее задание

Выучить правило (карточка), с.45, №184.
Индивидуальное задание – как вы понимаете слова Роджера Бэкона: «Человек, не знающий математику, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества?

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ

чисел с разными знаками

Добиться того, чтобы ученик за меньшее, чем прежде, время овладел большим объемом знаний, основательных и действенных - такова одна из главных задач современной педагогики. В этой связи появляется необходимость начинать изучение нового через повторение старого, уже изученного, известного по данной теме материала. Чтобы повторение проходило быстро и для того, чтобы была наиболее наглядной связь нового со старым, надо при объяснении организовать запись изучаемого материала специальным образом.

В качестве примера расскажу о том, как я обучаю учеников сложению и вычитанию чисел с разными знаками с помощью координатной прямой. Перед изучением темы непосредственно и на протяжении уроков в 5-м и 6-м классах уделяю много внимания устройству координатной прямой. До начала изучения темы «Сложение и вычитание чисел с разными знаками» необходимо, чтобы каждый ученик твердо знал и умел ответить на следующие вопросы:

1) Как устроена координатная прямая?

2) Как располагаются на ней числа?

3) Чему равно расстояние от числа 0 до любого числа?

Учащиеся должны понимать, что движение вдоль прямой вправо приводит к увеличению числа, т.е. выполняется действие сложения, а влево - к его уменьшению, т.е. выполняется действие вычитания чисел. Чтобы работа с координатной прямой не вызывала скуки, существует много игровых нестандартных задач. Например, такая.

Вдоль шоссе начерчена прямая. Длина одного единичного отрезка равна 2 м. все двигаются только вдоль прямой. На числе 3 стоят Гена и Чебурашка. Они одновременно пошли в разные стороны и одновременно остановились. Гена прошел в 2 раза большее расстояние, чем Чебурашка, и оказался на числе 11. На каком числе оказался Чебурашка? Сколько Чебурашка прошел метров? Кто из них шел медленнее и во сколько раз? (Нестандартная математика в школе. - М., Лайда, 1993, № 62).

Когда я твердо уверена, что все ученики справляются с движениями вдоль прямой, а это очень важно, перехожу непосредственно к обучению сложению и вычитанию чисел одновременно.

Каждому учащемуся выдается опорный конспект. Разбирая положения конспекта и опираясь на уже имеющиеся геометрические наглядные картинки координатной прямой, учащиеся получают новые знания. (Конспект приведен на рисунке). Изучение темы начинается с записи в тетради вопросов, которые будут рассмотрены.

1 . Как выполнить сложение с помощью координатной прямой? Как найти неизвестное слагаемое? Рассматриваем соответствующую часть конспекта??. Вспоминаем, что к a прибавить b - это значит увеличить a на b и движение вдоль координатной прямой происходит вправо. Вспоминаем, как называются и вычисляются компоненты при сложении и законы сложения, а также свойства нуля при сложении. Это части?? и?? конспекта. Поэтому следующие вопросы, записанные в тетради, таковы:

1). Сложение - это движение вправо.

СЛ. + СЛ. = С; СЛ. = С - СЛ.

2). Законы сложения:

1) переместительный закон: a + b = b + a ;

2) сочетательный закон: (a + b ) + c = a + (b + c ) = (a + c ) + b

3). Свойства нуля при сложении: a + 0= a ; 0+ a = a ; a + (- a ) = 0.

4). Вычитание - это движение влево.

У. - В. = Р.; У. = В. + Р.; В. = У. - Р.

5). Сложение можно заменить вычитанием, а вычитание - сложением.

4 + 3 = - 1 3 - 4 = -1

4 + 3 = 3 + (- 4) = 3 - 4 = - 1

по переместительному закону сложения

6). Так раскрывают скобки:

+ (a + b + c ) = + a + b + c

«джентельмен»

- (a + b + c) = - a - b - c

«разбойник»

2 . Законы сложения.

3 . Перечислите свойства нуля при сложении.

4 . Как выполнить с помощью координатной прямой вычитание чисел? Правила нахождения неизвестных вычитаемого, уменьшаемого.

5 . Как выполняется переход от сложения к вычитанию и от вычитания к сложению?

6 . Как раскрыть скобки, перед которыми стоит: а) знак плюс; б) знак минус?

Теоретический материал довольно объемен, но так как каждая его часть связана и как бы «вытекает» одна из другой, запоминание происходит успешно. Работа с конспектом на этом не заканчивается. С каждой частью конспекта соотносится текст учебника, который прочитывается в классе. Если после этого ученик считает, что разбираемая часть ему полностью понятна, то он слегка закрашивает текст конспекта в соответствующую рамочку, как бы говоря: «Это я понял». Если же есть что-то непонятное, то рамочка не закрашивается до тех пор, пока не станет все ясно. Белая часть конспекта - сигнал «Разберись!»

Цель учителя, которую следует достичь к концу урока, такова: учащиеся, уходя с урока, должны помнить, что сложение - это движение вдоль координатной прямой вправо, а вычитание - влево. Все ученики научились раскрывать скобки. Раскрытию скобок уделяется все оставшееся время урока. Устно и письменно раскрываем скобки в заданиях типа:

Задание на дом. Ответьте на записанные в тетради вопросы, читая пункты учебника, указанные в конспекте.

На следующем уроке отрабатываем алгоритм сложения и вычитания чисел. У каждого учащегося на столе карта с инструкциями:

1) Спишите пример.

2) Раскройте, если они есть, скобки.

3) Нарисуйте координатную прямую.

4) Отметьте на ней без масштаба первое число.

5) Если за числом стоит знак «+», то двигайтесь вправо, а если знак «-» - то влево на столько единичных отрезков, сколько их содержит второе слагаемое. Нарисуйте это схематически и около числа, которое ищете, поставьте знак?

6) Поставьте вопрос «Где нуль?».

7) Определите знак числа, у которого стоит вопросительный знак, являющегося решением, так: если? стоит справа от 0, то у ответа знак +, а если? стоит слева от 0, то у ответа знак - . Запишите в ответе примера после знака = найденный знак.

8) Отметьте на чертеже три отрезка.

9) Найдите длину отрезка от нуля до знака?

Пример 1. - 35 + (- 9) = - 35 - 9 = - 44.

1. Списываю пример и раскрываю скобки.

2. Рисую картинку и рассуждаю так:

а) отмечаю - 35 и двигаюсь влево на 9 единичных отрезков; у искомого числа ставлю знак?;

б) спрашиваю себя: «Где нуль?». Отвечаю: «Нуль правее - 35 на 35 единичных отрезков, значит, знак у ответа -, так как? левее нуля»;

в) ищу расстояние от 0 до знака?. Для этого вычисляю 35 + 9 = 44 и приписываю полученное число в ответ к знаку - .

Пример 2. - 35 + 9.

Пример 3. 9 - 35.

Эти примеры решаем, проводя аналогичные примеру 1 рассуждения. Других случаев расположения чисел быть не может, и каждая картинка соответствует одному из правил, приведенных в учебнике и требующих запоминания. Проверено (и неоднократно), что данный способ сложения более рационален. Кроме того, он позволяет складывать числа даже тогда, когда ученик думает, что он ни одного правила не помнит. Данный способ работает и при действиях с дробями, нужно лишь привести их к общему знаменателю, а затем рисовать картинку. Например,

«Инструктивной» карточкой каждый пользуется до тех пор, пока в ней есть необходимость.

Такая работа заменяет нудное и однообразное действие счета по правилам живой и активно работающей мысли. Преимуществ множество: не надо зубрить и лихорадочно соображать, какое правило применять; легко запоминается устройство координатной прямой, а это и в алгебре, и в геометрии при вычислении величины отрезка, когда точка на прямой лежит между двумя другими точками. Эта методика эффективна как в классах с углубленным изучением математики, так и в классах возрастной нормы и даже в классах коррекции.

Если температура воздуха была равна 9°С, а потом она изменилась на -6°С (т. е. понизилась на 6°С), то она стала равной 9 + (-6) градусам (рис. 83).

Рис. 83

Чтобы сложить числа 9 и -6 с помощью координатной прямой, надо точку A(9) переместить влево на 6 единичных отрезков (рис. 84). Получим точку В(3).

Рис. 84

Значит, 9 + (-6) = 3. Число 3 имеет тот же знак, что и слагаемое 9, а его модуль равен разности модулей слагаемых 9 и -6.

Действительно, |3| = 3 и |9| - |-6| = 9 - 6 = 3.

Если та же температура воздуха 9°С изменилась на -12°С (т. е. понизилась на 12°С), то она стала равной 9 + (-12) градусам (рис. 85).

Рис. 85

Сложив числа 9 и -12 с помощью координатной прямой (рис. 86), получим 9 + (-12) = -3. Число -3 имеет тот же знак, что и слагаемое -12, а его модуль равен разности модулей слагаемых -12 и 9.

Рис. 86

Действительно, |-3| = 3 и |-12| - |-9| = 12 - 9 = 3.

Обычно сначала определяют и записывают знак суммы, а потом находят разность модулей.

Например:

При сложении положительных и отрицательных чисел можно использовать микрокалькулятор. Чтобы ввести отрицательное число в микрокалькулятор, надо ввести модуль этого числа, потом нажать клавишу «изменение знака» . Например, чтобы ввести число -56,81, надо последовательно нажимать клавиши: . Операции над числами любого знака выполняются на микрокалькуляторе так же, как над положительными числами. Например, сумму -6,1 + 3,8 вычисляют по программе

Короче эту программу пишут так: .

Вопросы для самопроверки

• Числа а и b имеют разные знаки. Какой знак будет иметь сумма этих чисел, если больший модуль имеет отрицательное число? если меньший модуль имеет отрицательное число? если больший модуль имеет положительное число? если меньший модуль имеет положительное число?
• Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками.
• Как ввести в микрокалькулятор отрицательное число?

Выполните упражнения

1061. Число 6 изменили на -10. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма 6 и -10?

1062. Число 10 изменили на -6. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма 10 и -6?

1063. Число -10 изменили на 3. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма -10 и 3?

1064. Число -10 изменили на 15. С какой стороны от начала отсчёта расположено получившееся число? На каком расстоянии от начала отсчёта оно находится? Чему равна сумма -10 и 15?

1065. В первую половину дня температура изменилась на -4°С, а во вторую - на +12 °С. На сколько градусов изменилась температура в течение дня?

1066. Выполните сложение:

• а) 26 + (-6);
• б) -70 + 50;
• в) -17 + 30;
• г) 80 + (-120);
• д) -6,3 + 7,8;
• е) -9 + 10,2;
• ж) 1 + (-0,39);
• з) 0,3 + (-1,2);

1067. Прибавьте:

• а) к сумме -6 и -12 число 20;
• б) к числу 2,6 сумму -1,8 и 5,2;
• в) к сумме -10 и -1,3 сумму 5 и 8,7;
• г) к сумме 11 и -6,5 сумму -3,2 и -6.

1068. Какое из чисел 8; 7,1; -7,1; -7; -0,5 является корнем уравнения -6 + х = -13,1?

1069. Угадайте корень уравнения и выполните проверку:

• а) х + (-3) = -11;
• б) -5 + у = 15;
• в) т + (-12) = 2;
• г) 3 + п = -10.

1070. Найдите значение выражения:

1071. Выполните действия с помощью микрокалькулятора:

• а) -3,2579 + (-12,308);
• б) 7,8547 + (-9,239);
• в) -0,00154 + 0,0837;
• г) -3,8564 + (-0,8397) + 7,84;
• д) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
• е) -0,0085 + 0,00354 + (-0,00921).

1072. Найдите значение суммы:

1073. Найдите значение выражения:

1074. Сколько целых чисел расположено между числами:

• а) 0 и 24;
• б) -12 и -3;
• в) -20 и 7?

1075. Представьте число -10 в виде суммы двух отрицательных слагаемых так, чтобы:

• а) оба слагаемых были целыми числами;
• б) оба слагаемых были десятичными дробями;
• в) одно из слагаемых было правильной обыкновенной дробью.

1076. Каково расстояние (в единичных отрезках) между точками координатной прямой с координатами:

• а) 0 и а;
• б) -а и а;
• в) -а и 0;
• г) а и -За?

1077. Радиусы географических параллелей земной поверхности, на которых расположены города Афины и Москва, соответственно равны 5040 км и 3580 км (рис. 87). На сколько параллель Москвы короче параллели Афин?

Рис. 87

1078. Составьте уравнение для решения задачи: «Поле площадью 2,4 га разделили на два участка. Найдите площадь каждого участка, если известно, что один из участков:

1079. Решите задачу:

1. В первый день путешественники проехали 240 км, во второй день 140 км, в третий день они проехали в 3 раза больше, чем во второй, а в четвёртый день они отдыхали. Сколько километров они проехали в пятый день, если за 5 дней они проезжали в среднем по 230 км в день?
2. Фермер с двумя сыновьями собранные яблоки поместили в 4 контейнера, в среднем по 135 кг в каждый. Фермер собрал 280 кг яблок, а младший сын - в 4 раза меньше. Сколько килограммов яблок собрал старший сын?

1080. Выполните действия:

1. (2,35 + 4,65) 5,3: (40 - 2,9);
2. (7,63 - 5,13) 0,4: (3,17 + 6,83).

1081. Выполните сложение:

1082. Представьте в виде суммы двух равных слагаемых каждое из чисел: 10; -8; -6,8; .

1083. Найдите значение а + b, если:

1084. На одном этаже жилого дома было 8 квартир. Жилую площадь по 22,8 м 2 имели 2 квартиры, по 16,2 м 2 - 3 квартиры, по 34 м 2 - 2 квартиры. Какую жилую площадь имела восьмая квартира, если на этом этаже в среднем на каждую квартиру приходилось по 24,7 м 2 жилой площади?

1085. В составе товарного поезда было 42 вагона. Крытых вагонов было в 1,2 раза больше, чем платформ, а число цистерн составляло числа платформ. Сколько вагонов каждого вида было в составе поезда?

1086. Найдите значение выражения